Matris Determinant

Matrisler

Aşagıda ki sorularla konuyu pekiştirebilirsiniz.

1. eşitliğini sağlayan x ye y nin değerler aşağıdakilerden hangisidir?

A) Çözümlemez B) x=-3, y=-5

C) x=3 , y=5 D)x=6,y=3 E) x=5,y=3

2. Mertebeleri m.n ve k.l iki matrisin matrisinin çarpılabilmesi için aşağıdakilerden hangini sağlanmalıdır?

A) m=l B) m=k C) n=l D) n=k E) m=n

3.

eşitliğini sağlayan x ve y nin değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

A) x=-1 , y=2 B) x=2 , y=1

C) x=1, y=2 D) x=-1 , y=-2

E) x=2 , y=2

4.

eşitliğinin sağlayan x ve y değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

A) x=-1 ; y=3 B) x=-6 ; y=-5

C) x=-3 ; y=1 D) x=5 ; y=6

E) x=6 ; y=6

5. Terimleri birer matris olan geometrik bir dizinin ilk terimi ve ortak çarpan matris r= ise, r3a1 aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) B)

C) D) E)

6. ,

ise A.B nedir?

A) B.A B) A C) B D) E)

7. Elemanları, (z/(3),+,.) olan,

matrisleri için de çarpma kuralı geçerli ise negatif eleman kullanmadan A.B çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C)

D) E)

8. (a,b,c,dÎZ) matrisinin gibi matristir. x,y,z,tÎZ olması için a,b,c,d aşağıdaki ifadelerden hangisini sağlanırsa M-1 den söz edilebilir?

A) ac-bd=1 B) ad+bc=1 C) ab-dc=1

D) ab+dc=1 E) ad-bc=1

9. matrisinde her satırın terimleri toplamı 3 olduğuna göre, M2 matrisinin 1. satır terimleri toplamı nedir?

A) 5 B) 9 C) 12 D) 15 E) 16

10. ise A15 matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

11.

olduğuna göre xy çarpımı kaçtır?

A) B) C) D) E)

12. biçiminde bir matrisin tersi dır.

, olduğuna göre, AX=B eşitliğini sağlayan X matrisinin tüm elemanlarının toplamı kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

13.

matrisinin tersi kendisine eşit olduğuna göre a aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D) E) 0

14. matrisinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) B)

C) D) E) 0

15. ve

olduğuna göre c kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

16. Amxn matrisi ve B=AT+A verildiğine göre BT aşağıdakilerden hangisine eşittir? [AT , A matrisinin transpozesidir (devriğidir)]

A) B-1 B) B C) A-1 D) AT E) A

17.

matrisinin elemanları k (k¹0) kadar artırıldığında determinantı değişmediğine göre x in değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) a+b-c B) b+c-a C) c+a-b

D) a+b+c E) –a-b-c

18. K, 2×2 türünden bir matris olmak üzere,

ve ise

aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D) E)

19.olduğuna göre,a katır?

A) –6 B) –4 C) 3 D) 4 E) 5

20.

ise a+b+c toplamı kaçtır?

A) 11 B) 10 C) 2 D) –1 E) –2

21.

toplamı aşağıdaki matrislerden hangisine eşittir?

A) B) C)

D) E)

22. I, 2×2 türünde birim matrisi ve

olduğuna göre, A2-4A+4I işleminin sonucu aşağıdaki matrislerden hangisidir?

A) B) C)

D) E)

23. ve

olmak üzere A.B=A-B olduğuna göre B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C)

D) E)

24.

matrisi için A-1·A=A2 olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?

A) -5 B) -4 C) -3 D) -2 E) -1

25.

matrisinin, ters matrisinin olmaması için a kaç olmalıdır?

A) 15 B) 14 C) 11 D) 6 E) 5

26.

olduğuna göre, a kaçtır?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2

27. ve

olduğuna göre, (AB)t aşağıdakilerden hangisidir?(At: A matrisinin devriği (transpozesi))

A) B) C) D) E)

1-C 1967 ÜSS 2-D 1971 ÜSS 3-C 1972 ÜSS 4-B 1973 ÜSS 5-C 1975 ÜSS
6-B 1976 ÜSS 7-D 1978 ÜSS 8-E 1979 ÜSS 9-B 1981 ÖYS 10-D 1982 ÖYS
11-A 1983 ÖYS 12-C 1984 ÖYS 13-A 1985 ÖYS 14-A 1986 ÖYS 15-D 1987 ÖYS
16-B 1988 ÖYS 17-B 1989 ÖYS 18-B 1990 ÖYS 19-A 1991 ÖYS 20-B 1992 ÖYS
21-C 1993 ÖYS 22-D 1994 ÖYS 23-C 1995 ÖYS 24-C 1996 ÖYS 25-B 1996 ÖYS
26-C 1997 ÖYS 27-B 1998 ÖYS

İntegral

İNTEGRAL

Türevi belli olan bir fonksiyonu bulmak için yaptığımız işleme integral alma veya ilkel fonksiyonu denir.

BELİRSİZ İNTEGRAL

TANIM: f :[a, b] R, F : [a, b] R tanımlı ve türevlenebilir iki fonksiyon olsun.

Her x Є (a, b) için, F’(x) = f(x) ise F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun ilkeli veya belirsiz integrali denir. Bunu, C Є R olmak üzere,

F’(x) = f(x) ſ f(x) dx = F(x)+C

Biçiminde gösterilir. ſ f(x) dx ifadesini, “integral f(x) dx” diye okuruz.

Kısaca, ſ f(x) dx demek, türevi f(x) olan F(x) fonksiyonunu bulmak demektir.

ſ f(x) dx = F(x)+C ifadesindeki;

* f(x) fonksiyonuna integrand,
* F(x) fonksiyonunun bulunması işlemine integrasyon işlemi,
* C reel sayısına da integrasyon sabiti denir. Bir fonksiyonda, sabit terimin türevi sıfır olduğundan, integral alınırken bu sabit terimi bilemeyiz.
* ſ f(x) dx ifadesindeki dx ise, integrasyonyn değişkeninin x olduğunu belirtir.

TEOREM: Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali, bu fonksiyona sabit eklenerek bulunur.

ſ d( f(x) ) = f(x)+C dir.

TEOREM: Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının integrali, o fonksiyonun integralinin sabitle çarpımına eşittir.

Yani, integral içindeki sabit çarpan, integral dışına alınabilir.

Her a Є R için, ſ a . f(x) dx = a . ſ f(x) dx dir.

TEOREM: İki fonksiyonun veya farkının integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına veya farkına eşittir.

ſ[f(x) + g(x)] dx = ſ f(x) dx + ſ g(x) dx ,

ſ[f(x) - g(x)] dx = ſ f(x) dx – ſg(x) dx tir.

TEMEL İNTEGRAL ALMA FORMÜLLERİ

1. ſ a dx = ax + C , (a Є R )
2. ſ xⁿ dx = (xⁿ ¹/n+1) + C , (n = -1)
3. ſ ( 1/x) dx = ln |x| +C
4. ſ eª da = eª + C
5. ſ eª da = (eª / ln e) + C , (a Є R’ –{1})
6. ſ sinx dx = -cosx + C
7. ſ cosx dx = -sinx + C
8. ſ (1 / cos²x) dx = ſ(1+tan²x) dx =ſsec²x dx = tanx + C

#

ſ

(1 / sin²x) dx =

ſ

(1+cot²x) dx =

ſ

cosec²x dx = -cotx + C

10. ſ (1 / 1 – x² ) dx = arc sinx + C = -arc cosx + C
11. ſ( 1 / 1+x² ) dx = arc tanx + C = -arc cotx + C

Yukarıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösterebilmek için, sağ taraftaki fonksiyonların türevlerini alarak, integrali alınan fonksiyonu elde ederiz.

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ

İntegrali alınacak fonksiyonun, hangi fonksiyonun türevi olduğunu görmek, her zaman pek mümkün olmaz. Bunun için, bazı integral alma yöntemleri oluşturulmuştur.

1. DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ

f, g, fog ve g’ fonksiyonları, bir [a, b] aralığında sürekli fonksiyonlar olsun

ſ

f(g(x)).g’(x) dx

biçimindeki integralleri hesaplamak için, u = g(x) dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınırsa, du = g’(x) dx elde edilir. Bu durumda integral,

ſ

f(g)).g’(x) =

ſ

f(u) du

biçimine dönüşür.

ſ

f(u) du ifadesinin, u değişkenine göre integrali alındıktan sonra, u yerine g(x) yazılarak, sonuç x değişkenine göre bulunmuş olur.

*

ſ

[f(x)]ⁿ . f’8x) dx ifadesinde olduğu gibi, kuvveti alınan fonksiyonun türevini aldığımızda, yanındaki çarpanı elde edebiliyorsak, bu ifadenin integralini kısaca;

ſ

[f(x)]ⁿ . f’(x) dx = {[f(x)]ⁿ´¹ / n+1} + C (n = -1)

biçiminde alabiliriz.

LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI:

1. ſ {f´(x) / f (x) = ln |f (x)| + C
2. ſ eª . f´(x) dx = eª + C ( a = f(x))
3. ſ eª . f´(x) dx = {eª / ln e} + C (a = f(x))

Bu eşitliklerin, sağ tarafındaki ifadelerin türevlari alındığında, integrali alınacak ifade elde edilir.

BAZI TRİGONOMETRİK İFADELERİN İNTEGRALLERİ

1. ſ sin(f(x)) . f´(x) dx = -cos f(x) + C
2. ſ cos (f(x)) . f’(x) dx = sin f(x) + C
3. ſ{f’(x) / cos²f(x)} dx = tan f(x) + C
4. ſ{f’(x) / sin²f(x)} dx = -cot f(x) + C
5. ſsin(ax + b) dx = (-1 / a) cos(ax + b) + C (a = 0)
6. ſcos(ax + b) dx = (1 / a) sin(ax + b) + C (a = 0)
7. ſ{dx / cos²(ax + b) dx = (1 / a) tan (ax + b) + C (a = 0)
8. ſ{dx / sin²(ax + b) dx = (-1 / a) cot (ax + b) + C (a = 0)
9. ſcot (ax + b) dx = ſ{cos (ax + b) / sin (ax + b) dx = (1 / a) ln |sin(ax + b)| + C

Yukarıdaki eşitliklerde, sağ taraftaki fonksiyonların türevlvri alındığında, integrali alınan fonksiyon elde edilir.

2 KISMİ (PARÇALI) İNTEGRASYON YÖNTEMİ

İki fonksiyonun çarpımının integralinin hesaplanmasında genelde, kısmi integrasyon yöntemi kullanılır.

u ve v fonksiyonları, bir (a,b) aralığında türevlene bilen fonksiyonlar ise, u, v fonksiyonu da (a, b) aralığında türevlidir.

{(d / dx)(u . v)} = {(du v / dx) + (dv u / dx) olduğundan,

d(u . v) = v du + u dv ve

u dv = d(u . v) – v du olur.

Bu eşitliğin her iki yanının integralini alırsak;

ſ

u dv = u . v -

ſ

v du olur.

Bu yöntemle integral almaya, kısmi integrasyon yöntemi denir.

3 BASİT KESİRLERE AYIRMA YÖNTEMİYLE İNTEGRAL ALMA

P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, {P(x) / Q(x)}, (Q(x) = 0) biçimindeki fonksiyonlar, rasyonel fonksiyonlardır. Basit kesirlerine ayrılabilen rasyonel fonksiyonların integralleri şu şekilde bulunur:

a, b, c, A, B Є R ve n Є N olsun. (A / (ax + b)ⁿ) ve Δ< 0 olmak üzere,

{Ax + B / (ax² + bx + c)ⁿ biçimindeki ifadelere basit kesir denir. {P(x) / Q(x)}rasyonel ifadesi, basit kesirlerin tplamı biçiminde yazılabiliyorsa, yapılan işleme; basit kesirlere ayırma denir.

Rasyonel ifadelerin integralinin hesaplanmasında 2 yöntem vardır.

1. P(x) in Derecesi, Q(x) in Derecesinden Küçük ise

Bu durumda, aşağıdaki yollar izlenir:

a) {P(x) / Q(x)) rasyonel ifadesinin paydası olan Q(x),

Q(x) = (a x + b )(a x + b)…(a x + b) biçiminde r tane çarpandan oluşuyorsa, bu ifade:

{P(x) / Q(x)} = {A / a x + b} + {A / a x + b}+….+{A / a x +b} şeklinde basit kesirlerin toplamı olarak yazılır. Polinomların eşitliğinden yararlanılarak; A , A , ….., A değerleri bulunur ve sonrada integral alınır.

2. P(x) in Derecesi, Q(x) in Derecesinden büyük veya eşit ise

Bu durumda, P(x) polinomu Q(x) polinomuna bölünür. P(x) in Q(x) e bölünmesinden bulunan bölüm B(x) ve kalan K(x) ise,

{P(x) / Q(x)} = B(x) + {K(x) / Q(x)} biçiminde yazılır ve bu ifadenin integrali alınınr.

TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER YARDIMIYLA İNTEGRAL ALMA

Bazı trigonometrik ifadelerin integralleri alınırken, ayşağıda verilen trigonometrik özdeşliklerden yararlanılır.

1. sin²x +cos²x = 1 sin²x = 1 -cos²x veya cos²x = 1 -sin²x tir.

2. sin2x = 2sinx . cosx sinx . cosx = (sin2x / 2) dir.

3. cos2x = cos²x – sin²x veya cos2x = 2cos²x – 1 cos²x = {1+cos2x / 2} veya

cos2x = 1 – 2sin²x sin²x = {1 – cos2x / 2 } dir.

n Tek Doğal Sayı ise

ſ

sinⁿx dx veya

ſ

cosⁿx dx Biçiminde Verilen İntegralleri Hesaplama

ſ

sinⁿ dx =

ſ

sinⁿ־¹x .sinx dx veya

ſ

cosⁿ dx =

ſ

cosⁿ־¹x .cosx dx biçiminde yazılır. Daha sonra, sin²x = 1 – cos²x veya cos²x = sin²x özdeşlikleri yazılarak integral alınır.

n Çift Doğal Sayı ise

ſ

sinⁿ dx veya

ſ

cosⁿx dx Biçiminde Verilen İntegrallerin Hesaplanması

ſ

sinⁿx dx =

ſ

(sin²x)ⁿ´² dx veya

ſ

cosⁿx dx =

ſ

(cos²x)ⁿ´² dx yazılır.

Daha sonra, sin²x = (1 – cos2x / 2) veya cos²x = (1 + cos2x / 2) özdeşlikleri yazılarak integrali alınır.

Türev

TÜREV VE UYGULAMALARI

TANIM: y = f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli, x0 (a,b) olsun.

limiti bir gerçel sayı ise,

bu limite y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki TÜREVi denir ve f’(x0) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK:

f : R R, f(x) = -x2 + 2 fonksiyonunun x0 = 1 noktasındaki türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f(1) = – 12 + 2 = 1

f’(1)

NOT:

f’(x0) =

ise,

ise

ÖRNEK:

f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu verilir.

a) f’(2) = ? b) f’(1) = ?

ÇÖZÜM:

a) f (2) =|22 – 4| = 0 olduğu için fonksiyonun x = 2 noktasında türevi yoktur.

b)

TÜREV ALMA KURALLARI:

1) c R olmak üzere

f (x) = c f’(x) = 0

2) f (x) = x f’(x) = 1

3) f (x) = cx f’(x) = c

4) f (x) = c . xn f’(x) = c . n . xn-1

5) f (x) = c . un f’(x) = c . n . un-1 . u’x

6) f (x) = u v f’(x) = u’x v’x

7) f (x) = u . v f’(x) = u’x . v + v’x . u

f (x) = u . v . t f’(x) = u’x . v. t + v’x . u . t

+ t’x . u . v

9) f (x) =

10) f (x) =

ÖRNEKLER:

1. f (x) = 5 f’(x) = 0

2. f (x) = f’(x) = 0

3. f (x) = x5 f’(x) = 5×4

4. f (x) = x f’(x) = 1

5. f (x) = 2x f’(x) = 2

6. f (x) =

7. f (x) = x4 – x3 + 2x – 3 fonksiyonunun türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f’(x) = 4×3 – 3×2 + 2

8. f (x) = (3×2 + 5)11 fonksiyonunun türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f’(x) = 11 (3×2 + 5)10 . (3×2 + 5)’

= 11(3×2 + 5)10 . 6x

= 66x (3×2 + 5)10

9. f (x) = fonksiyonunun türevi nedir?

ÇÖZÜM:

olur.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:

A)

1) f (x) = Sinx f’(x)=Cosx

2) f (x) = Cosx f’(x) = – Sinx

3) f (x) = tanx f’(x) = 1 + tan2x

4) f (x) = Cotx f’(x) = – (1 + Cot2x)

ÖRNEKLER:

1. f (x) = Secx f’(x) = ?

ÇÖZÜM:

Dir.

2. f (x) = Cosec f’(x) =?

ÇÖZÜM:

B.

1) f (x) = Sin[u[x]] f’(x) = u’(x) . Cos[u(x)]

2) f (x) = Cos [u(x)] f’(x) = – u’(x) . Sin [u(x)]

3) f (x) = tan [u(x)] f’(x) = u’(x) [1 + tan2u(x)]

4. f (x) = Cot[u(x)] f’(x) = -u’(x) [1 + Cot2u(x)]

ÖRNEKLER:

1. f (x) = Sin3x f’(x) = 3Cos3x

2. f (x) = tan(x2 – 1) f’(x) = ?

ÇÖZÜM:

f’(x) = (x2 –1)’ . [1 + tan2(x2 – 1)]

f’(x) = 2x [1 + tan2 (x2 – 1)]

3. f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f’(x) = Cos (tanx) . (tanx)

4. f (x) = 2Sin3 x + 3Cos2x f’(x) = ?

ÇÖZÜM:

f’(x) = 2.3.Sin2x . (Sin x)’ + 3.2 Cosx . (Cosx)’

f’(x) = 6Sin2x . Cosx + 6 Cosx . ( – Sin x)

Limit ve Süreklilik

LİMİT ve SÜREKLİLİK

I. LİMİT

A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve biçiminde gösterilir.

B. LİMİT KAVRAMI

Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x₁, y₄) , B(x₂, y₃) , C(x₃, y₂) , D(x₄, y₁), … noktalarını göz önüne alalım:

Bu noktaların apsisleri olan x₁, x₂, x₃, x₄, … giderek a ya yaklaşırken, ordinatları

f(x₁) = y₄, f(x₂) = y₃, f(x₃) = y₂, f(x₄) = y₁, … giderek b ye yaklaşır.

Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,

f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve

şeklinde gösterilir.

Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan

E(x₈, y₅) , F(x₇, y₆) , G(x₆, y₇) , H(x₅, y₈) , … noktalarını göz önüne alalım.

Bu noktaların apsisleri olan x₈, x₇ , x₆ , x₅ , … giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x₈) = y₅ , f(x₇) = y_{6 ,} f(x₆) = y₇ , f(x₅) = y₈ , … giderek d ye yaklaşır.

Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.” şeklinde ifade edebiliriz.

Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve

biçiminde gösterilir.

Kural

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise, biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir. f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur.

C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT

f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.

Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,

Kural

D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

Özellik

f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

Özellik

E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ

Özellik

F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

f(x) = sgn [g(x)] olsun. Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır. Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir.

G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır. Söz gelimi, fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.

H. NİN x = a DAKİ LİMİTİ

Özellik

I. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ

1. sinx in ve cosx in limiti

sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

2. tanx in limiti

tanx fonksiyonu olmak üzere,

koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

3. cotx in limiti

cotx fonksiyonu olmak üzere, koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,

olur.

Sonuç

J. BELİRSİZLİK DURUMLARI

belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.

Kural

Kural

m, n Î N olmak üzere, olur.

Kural

a > 0 olmak üzere, ¥ – ¥ belirsizliği olan limitler, kuralını kullanarak hesaplanabilir.

Kural

Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği veya belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir.

Kural

II. SÜREKLİLİK

Kural

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir.

Sonuç

y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,

Uyarı

f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir.

Kural

1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir. 2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir. 3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir.

Limit ile ilgili Öss ve Öys de çıkmış Bazı sorular ve çözümleri

13.
1994 – ÖYS

Çözüm:

Cevap – C

14.
1995 – ÖYS

Çözüm:

Cevap – D

16.
1998 – ÖYS

Çözüm:

Cevap – E

17.
2006 – ÖSS

Çözüm:

Cevap – E

19.
2007 – ÖSS

Çözüm:

Cevap – B

Özel Tanımlı Fonksiyonlar

Kuralı verilmiş bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş reel sayı kümesine o fonksiyonun tanım kümesi (tanım aralığı) denir.

1. Polinom Fonksiyonun Tanım Kümesi

f(x) = a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + …+ a₁x + a₀

şeklindeki reel katsayılı polinom fonksiyonları bütün reel sayılar için tanımlıdır.

Tanım kümesi A ile gösterilirse, polinom fonksiyonlarının tanım kümesi olur.

2. Rasyonel Fonksiyonların Tanım Kümesi

şeklindeki rasyonel fonksiyonlar

Q(x) = 0 için tanımsızdır.

Q(x) = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi (tanım aralığı) olur.

3. Çift Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere, şeklindeki fonksiyonlar g(x) ³ 0 için tanımlıdır.

g(x) ³ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç = B ise f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi A = B dir.

4. Tek Dereceden Köklü Fonksiyonların Tanım Kümesi

n bir pozitif tam sayı olmak üzere,

fonksiyonu, g(x) in tanımlı olduğu her yerde tanımlıdır. g(x) in tanım kümesi B ise f(x) in tanım kümesi (aralığı) A = B dir.

B. PARÇALI FONKSİYONLAR

Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar adı verilir.

C. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU

f : A ® B fonksiyonu reel değerli bir fonksiyon olsun.

şeklinde tanımlanan |f| fonksiyonuna f fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Kural

Mutlak değerin tanımına göre, f(x) in negatif olmadığı yerde |f(x)| in grafiği f(x) in grafiği ile aynıdır. f(x) in negatif olduğu yerde |f(x)| in grafiği f(x) in grafiğinin Ox eksenine göre simetriğidir. Bu durumda, y = |f(x)| in grafiğini iki adımda çizebiliriz. 1. Adım: y = f(x) in grafiği çizilir. 2. Adım : Ox ekseninin üst tarafında kalan eğri aynen bırakılır. Ox ekseninin altında kalan kısmın Ox eksenine göre simetriği alınır.

D. İŞARET FONKSİYONU

den ye bir fonksiyon olmak üzere,

şeklinde tanımlanan fonksiyona f nin işaret fonksiyonu denir.

E. TAM DEĞER FONKSİYONU

1. Tam Değer Kavramı

x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya x in tam değeri denir ve ile gösterilir. x bir reel sayı olmak üzere, x ten büyük olmayan en büyük tam sayı t ise,

olur.

2. Tam Değer Fonksiyonu

şeklinde tanımlanan fonksiyona tam değer fonksiyonu denir.

Kural

Toplam Çarpim Sembolleri, Diziler Seriler

ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER

1. Aritmetik Dizi

1. TANIM

Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir. Diğer bir ifadeyle ” n Î N+ için, an+1 – an = d olacak şekilde bir d Î R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir.
ÖRNEK

(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz.

an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.

2. GENEL TERİM

Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir.

5

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 3d

…………………………..

an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir.

Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir.
ÖRNEK

İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d

an = 8 + (n – 1) 2

an = 2n + 6’dır.

3. ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir.

p – k
ÖRNEK

39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)

d = (22 – 19)/6

d = ½’ dir.

a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı :

d = b – a dır.

n + 1

ÖRNEK

- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4

Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,

Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da

2

Sn = n (a1 + an) olur.

2

Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k

ap = ap – k +ap + k dır.

2
ÖRNEK

19. terimi 42 ve 33. terimi 88 olan aritmetik dizinin 26. terimi kaçtır?

a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için,

a26 = (a19+a33)/2

a26 = (42+88)/2

a26 = 65’tir.
GEOMETRİK DİZİ

1. TANIM

Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir. Diğer bir ifadeyle

” n Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak

an

çarpan veya ortak oran denir.
ÖRNEK

(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz.

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir.

2. GENEL TERİM

Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun. Bu durumda,

a1 = a1

a2 = r.a1

a3 = r.a2 = r2.a1

a4 = r.a3 = r3.a1

Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1.a1 veya an = rn – p.ap dir.
ÖRNEK

İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 . a1

an = (1/2)n – 1 . 4

an = 23 – n

3. GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur.

ak
ÖRNEK

2. terimi 3/5 ve 5. terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?

a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2

r3 = 75/3/5

r3 = 125

r = 5 tir.

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a1.1 – rn olur.

1 – r
ÖRNEK

İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3. terimi nedir?

a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 . (1 – r3)/(1 – r)

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k < p iken, ap = dır.
ÖRNEK

3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?

a3 = ve a5 = (a3 . a7)1/2 6 = (3 . a7)1/2 36 = 3 . a7 a7 = 12’dir.

SONUÇ:

Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.

ÖRNEK:

Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n. terimi y’dir. Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y’ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x.6n – 1 6n = 6y/x … (*)

Sn = a1.(1 – rn)/(1 – r) = x . (1 – 6n)/(1 – 6) = x . (1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir.
SERİLER
A. TANIM

* (an) reel terimli bir dizi olsun.

= a1+a2+a3+ …+an + … sonsuz toplamına seri denir.

* an’e serinin genel terimi denir.
* Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ …+an toplamına serinin n. kısmi toplamı denir.
* (Sn) = (S1,…,S2,…,S3,…,Sn,…) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir.
* a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn’ dir.

b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır.

* serisi yakınsak ise lim an = 0’dır. Bu ifadenin tersi doğru değildir.Yani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir.
* lim an ¹ 0 ise serisi ıraksaktır.

ÖRNEK

2n/5-n serisi veriliyor. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

an = 2n/5-n = 2n.5n = 10n dir. lim an = lim 10n = ¥ dur. lim an ¹ 0 olduğuna göre seri ıraksaktır.

B. ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER

1. Aritmetik Seriler

(an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir. Aritmetik serinin kısmi toplamı Sn = n (a1+a2)’dir. Aritmetik seri ıraksaktır.

2
ÖRNEK

(n – 10)/20 serisi veriliyor. Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz. Serinin kısmi toplamını bulunuz. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

” n Î N+ için d = an +1 – an =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir.

a1 = -9/20 ve an = (n – 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n –10)/20]

=n(n – 19)/40 = ¥

olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır. (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır.

2. Geometrik Seriler

(an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir. Geometrik serinin kısmi toplamı Sn = a1.1-rn’dir.

1-r

1. |r| < 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1’dir.

1-r

2. |r| ³ 1ise seri ıraksaktır.

ÖRNEK

31-n serisi veriliyor.

Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz.

” n Î N+ için, r = (an+1)/an = 31-(n+1)/31-n = 1/3 olduğu için seri geometrik seridir.

a1 = 1 ve r = 1/3 olduğuna göre,

Sn = 1 . [1 – (1/3)n]/(1 – 1/3) = 3/2[1 – (1/3)n] dir.

r = 1/3 olduğuna göre |r| = |1/3| = 1/3 < 1 dir. Bunu için seri yakınsaktır.

Seri yakınsak olduğuna göre toplamı 31 – n = a1/(1 – r) = 1/(1 – 1/3) = 3/2 dir.

Logaritma

LOGARİTMA

1. TANIM

aR+ -{1} ve x R+ olmak üzere, ay = x eşitliğini ele alırsak.

Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde logaritma işlemi yapılır.

aR+-{1}, xR+ ve yR olmak üzere,

ay=x Û y=loga x tir.

Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

Örnekler:

1) log2 8 = y Ş 8= 2y Ş y = 3 tür.

2) loga 64 = 3 Ş 64 = a3 Ş a = 4 tür.

3) log3 x = -2 Ş x = 3-2 Ş x = dur.

4) loga a = x Ş a = ax Ş x = 1 dir.

5) loga 1 = n Ş 1 = an Ş n = 0 dır.

6) log5 (-25) v= m Ş -25 = 5m Ş mR dir.

Sonuç olarak:

1) loga a = 1

2) loga 1 = 0

3)y = loga f(x) Ş f(x) > 0

Örnek:

Log5 (log3 (log2 x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:

Log5 (log3 (log2 x) ) = 0 Ş log3 (log2 x ) = 50 = 1 Ş log2 x = 31 Ş x = 23 = 8 dir.

Örnek:

Log3 (a3.b.c) = 5 log3 = 1 olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:

log3(a3.b.c) = 5 Ş a3.b.c = 35

log3=1 Ş =31

x

a3.b3 = 36

a.b = 32

a.b = 9 dur.

Örnek:

log 3a = 3 ve logb = 4 olduğuna göre a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:

log 3a = 3 Ş a = 3 Ş a = 2 dir.

logb = 4 Ş b = 4 Ş b = 9 dur.

Buradan, a.b = 18 dir.
2. ÖZEL LOGARİTMALAR

a) Bayağı Logaritma

y = log10 x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

Örnek:

log10 10 = log10 = 1 dir.

b) Doğal Logaritma

e = 2,71828…. olmak üzere,

y = loge x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

Örnek:

Loge e = ln e = 1 dir.

3. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ

x,yR+ ve a R+ – {1} olmak üzere,

1) loga (x.y) = loga x + loga y

2) loga = loga x – loga y

3) log xm = loga x

4) loga x = loga y Ş x = y dir.

Örnek:

1) log 5 + log 2 = log (5.2) = log 10 =1

2) log 300 – log 3 = log = log 100 = log (102) = 2. log 10 =2

3) log25 125 = log53 = log5 5 =

Örnek:

log (2x-y) = log x + log y olduğuna göre, y nin x türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

log (2x-y) = log x + log y Ş log (2x-y) = log (x.y)

Ş 2x – y = x.y

Ş 2x = x.y +y

Ş 2x = y. (x+1)

Ş y = dir.

Örnek:

log (a.b) = 3

log = 1 olduğuna göre, a değerini bulalım.

Çözüm:

log (a.b) = 3 Ş log a + log b = 3

log = 1 Ş log a – log b = 1

+

2 log a = 4

log a = 2

a= 102 = 100 dür.

Örnek:

log2 işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

log2 = log2 =log2 = log2 2 = tür.

Örnek:

a = olduğuna göre, logb değerini bulalım.

Çözüm:

a = Ş logb = logb = logb = logb b = tür.

Örnek:

log 5 = a, log 3 = b, log 2 = c olduğuna göre, log (22,5) ifadesinin a,b,c türünden eşitini

bulalım.

Çözüm:

log (22,5) = log = log = log 5 + log 32 – log 2 = log 5 + 2log 3 – log 2

= a + 2b – c dir.

Örnek:

Log5 x2 = 6 + log 5 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:

Log5 x2 = 6 + log 5 Ş 2. log5 x = 6 + log5 x-1

Ş 2. log5 x = 6 – log5 x

Ş 3. log5 x = 6

Ş log5 x = 2

Ş x = 52 = 25 tir.

Örnek:

log 5 = n olduğuna göre, log 4 değerinin n türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

log 4 = 2 log 2 = 2 log = 2. ( log10-log5) = 2(1-n) dir.

aR+, a1 ve xR+ olmak üzere,

a= x tir. dır.

Örnek:

3= 5, e ln3 = 3 ve 10logA =A dır.

Örnek:

9= 10= 10= 102 = 100 dür.
Taban Değiştirme Kuralı:

ve R+ olmak üzere,

= = = dır.

Not:

ve R+ olmak üzere,

, olur.

Örnek:

log25 = olduğuna göre, log510 ifadesinin türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

log510 = = = olur.

4. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.

Y = loga x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,

1. a>1 için y

y = ax

1

x

1

y = x y = loga x

y

2. 0

y = x

1

x

1

y = loga x

grafikleri elde edilir.

Not:

y = loga (mx + n)fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki işlemler yapılarak çizilir.

1) Logaritmanın tanımından, f(x) in grafiği, mx + n > 0 şartının sağlandığı bölgededir.

2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x0 ve x1 değerleri bulunur. Grafik, (x0,0) ve (x1,1) noktalarından geçer.

Örnek:

f(x) = log2 (x-1) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

f(x) fonksiyonu, x-1>0 Ş x>1 için tanımlıdır.

y = 0 için, log2 (x-1) = 0 Ş x = 2 ve

y = 1 için, log2 (x-1) = 1 Ş x = 3

olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından geçer. Taban 1 den büyük olduğundan, verilen fonksiyonun grafiği,

y

1

0

x

1 2 3

y = log2(x-1)

5. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ

aR+-{1} ve xR+ olmak üzere,

f(x) = loga x Û f -1 (x) = ax tir.

Örnek:

f(x) = log5x Û f –1 (x) = 5x tir.

Örnek:

f(x) = y = 2log5 x Ş x = 2.log5 f –1 (x)

= log5 .f –1(x) Ş= f –1(x)

Şf –1 (x) = tir.

6. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Bir eşitsizlik içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür eşitsizliklere logaritmalı eşitsizlikler denir.

1) a>1 olmak üzere,

loga f(x) loga g(x) Û f(x) g(x) (eşitsizliğin yönü değiştirilmez.)

2) 0

loga f(x) loga g(x) Û f(x) g(x) (eşitsizliğin yönü değiştirilir.)

Örnek:

log3 (log2(x-1)) > 0 Ş log2 (x-1) > 30 = 1

Ş x-1 > 21

Ş x > 3 tür.

Örnek:

log2(x-3)<4 Ş 0 < x-3 <24

Ş 3

Örnek:

log(3x-1) < 0 Ş log(3x-1) < 0

Ş -log2 (3x-1) < 0

Ş log2 (3x-1) > 0

Ş3x-1 > 1

Şx > tür.

7. BAYAĞI LOGARİTMA

a) Karekteristik ve Mantis

xR+ , kZ ve 0m<1 olmak üzere, log x = k+m eşitliğinde k tamsayısına x in logaritmasının karekteristiği, m reel sayısına da x in logaritmasının mantisi denir.

Örnek:

log 30 = 1,477 ifadesinde, 30 sayısının logaritmasının karekteristiği1 ve mantisi 0,477 dir.

Örnek:

log2 = 0,301 olduğuna göre, log(800) değerinin karekteristik ve mantisini bulalım.

Çözüm:

log (800) = log (23.102) = 2 + 3 log2

= 2 + 3. (0,301)

= 2 + 0,903

= 2,903 olduğundan,

karekteristik 2 ve mantis 0,903 olur.

Not:

ve

olduğuna dikkat edilmelidir.

Uyarı:

1 den büyük pozitif tamsayıların basamak sayısı, sayının logaritmasının karekteristiğinin bir fazlasıdır.

Örnek:

log 2 = 0,301 olduğuna göre, (40)40 sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.

Çözüm:

Log (40)40 = 40. log(40)

= 40. (log 22.10)

= 40. (1 + 2 log 2)

= 40. (1+ 0,602)

= 64,08 olduğundan, karekteristik 64 ve basamak sayısı 65 tir.

b) Kologaritma:

xR+ olmak üzere, x in çarpmaya göre tersinin logaritmasına x in kologaritması denir ve colog x biçiminde gösterilir.

Colog x = log = log x –1 = – log x tir.

Örnek:

log x = 1,73 olduğuna göre, colog x in karekteristiğini ve mantisini bulalım.

Çözüm:

log x = 1,73 Ş colog x = – log x = -1,73 = -2 + 0,27 = dir.

colog x in karekteristiği –2 ve mantisi 0,27 dir.

Örnek:

log A = olduğuna göre , colog A değerini bulalım.

Çözüm:

log A = Ş colog A = – ()

= – (-3 + 0,52)

= 3 – 0,52

= 2,48 dir.

Polinomlar

P O L İ N O M

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

a0, a1, a2, ….an-1, an Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1. an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2. an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

P(x) = a0 + a1x + a2×2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.

6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir.

Örnek:

P(x) = 2×5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?

Çözüm:

5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.

3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu

P(x) = 2×5-3/3 + x3-2 + 4

P(x) = 2×4 + x + 4 dür.
ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 – 2×4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.

der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.

Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek

P(x, y) = 2×2y4 – 3×3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:

2×2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6

-3×3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8

x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5

-y5 teriminin derecesi 5

Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek

P(x) = x3 – 3×2 + 4x – 2 ise

P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:

P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2

= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.

P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = – 2 bulunur.

P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2

= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.
SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 polinomunda,

an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0×2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek

P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.
Çözüm

P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;

m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.
SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve a0 ¹ 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.

x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0×0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.
Çözüm

P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.
İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

n. dereceden,

A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 ve

B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2×2 + b1x + b0 polinomları için;

A(x) = B(x) Û an = bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

Örnek

A(x) = 5×3 + (a + 1×2 + d,

B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.
Çözüm

A(x) = 5×3 + (a + 1)x2 + d = 5×3 + (a + 1)x2 + 0x + d,

B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3)x + olduğundan;

A(x) = B(x) Þ 5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =

b = 6, a = -4, c = , d = dir.
POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R ® R

x ® P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

P : R ® R

x ® P(x) = 5×3 + 2×2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

Örnek

P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.
Çözüm

P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1

= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2

P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II: Yol:

Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek

P(x) polinomu için,

P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.
Çözüm

P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliğinde

H = x + 2 Þ h –2 = x’i yerine yazalım.

P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.
POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.

P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek

P(x) = 2×4 + 5×3 – 3×2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.
Çözüm

P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.

P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1

= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.
POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4×4 + a3×3 + a2×2 + a1x + a0

B(x) = b3×3 + b2×2 + b1x + b0

Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.

A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek

P(x) = x3 + 2×2 – 3x + 1, Q(x) = 3×2 + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.
Çözüm

P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + Ö3) x + 1 + 4

= x3 + 5×2 + (Ö3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.

P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.
Örnek

A(x) = 5×4 + x3 – 3×2 + x + 2 ve

B(x) = – 5×4 + x3 + 2×2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.
Çözüm

B(x) = -5×4 + x3 + 2×2 + ise, -B(x) = 5×4 – x3 – 2×2 – dir.

A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))

= (5×4 + x3 – 3×2 + x + 2) + (5×4 – x3 –2×2 – )

= (5 + 5)x4 + (-)x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 – )

= 10×4 – x3 – 5×2 + x – olur.

Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.

Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.
Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.

anxn ile bkxk teriminin çarpımı

anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.

Yani (5×3) . (-2×4) = 5 . (-2) x3+4 = -10×7

Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))
Örnek

A(x) = 3×4 + 1, B(x) = x2 + x

C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.

1. A(x) . B(x)
2. B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözüm

1. A(x) . B(x) = (3×4 + 1) . (x2 + x)

= 3×4 . x2 + 3×4 . x + x2 + x

= 3×6 + 3×5 + x2 + x

2. B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)

= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1

= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1

= x4 + x + 1 bulunur.

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.
2. Değişme özelliği vardır.
3. Birleşme özelliği vardır.
4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.
5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.

Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.

6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

Polinomlar Halkası

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi;

1. (R[x],+) sistemi değişmeli gruptur.
2. R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
3. R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

O halde (R[x], + , . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

Polinomlarda Bölme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x) B(x)

o T(x)

ê

.

-___________

R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.

Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.
2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.

DerB(x) < derA(x)

3. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

Der R(x) < der B(x)

4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.
5. der A(x) = der B(x) + der T(x)

der = der A(x) – der B(x) dir.

Örnek

P(x) = x4-2×2 + x 5 polinomunu

Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim.

x4 – 2×2 + x + 5 x2 + 3x – 1

_____________ = x2

x2- 3x + 8

± x4 ± 3×3 ± x2 = -3x

-__________________

-3×3 – x2 + x + 5 = 8

±3×3 ± 9×2 ±3x

-_________________

8×2 – 2x + 5

± 8×2 ± 24x ±8

-_________________

– 26x + 13

Bölüm : x2 – 3x + 8

Kalan : -26x + 13

Horner Metodu

Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

Örnek

Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

Çözüm

1. Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2. Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur.
3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır.
4. a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir.

px3 + qx2 + rx + s, x – a = 0 ise x = a

Örnek

P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

Çözüm

P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0 Þ x = 2 ‘yi yerine yazalım.

Bölümün Katsayıları Kalan

-1 0 3 4

2 1 2 2 4 14

1 1 2 7 18

Bölümün Katsayıları Kalan

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7

Kalan R(x) = 18 bulunur.

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k Þ P(a) = k bulunur.

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0 Þ x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

Örnek

P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

Çözüm

X – 2 = 0 Þ x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır.

Ax + b = 0 Þ x = olur. Polinomda x yerine yazılırsa P() = k bulunur. O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır.

Örnek

P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

P () = – 4. + 1 = – 2 + 1 = olur.

Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır.

Örnek

P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0 Þ x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız.

P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur.

Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.

Örnek

Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa,

P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.

P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.

P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b Þ P(-3) = -3a + b

P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b Þ P(2) = 2a +b olur.

-3a + b = -5

2a + b = 4

denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur. Buradan, K(x) = x + bulunur.

Örnek

Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;

P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,

x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve

x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = – 2x + 6 olur.

bx + c – 2a = -2x + 6 Þ b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den

a – 2 + c = 7 Þ a + c = 9 dur.

c – 2a = 6

a + c = 9

Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8 olur.

İşlem ve Modüler Aritmetik

MODÜLER ARİTMETİK

x,y є Z ve m є Z+ – { 1 } olmak üzere, x – y farkı m nin tam katı ise,

x ≡ y ( mod m )

dir.

Örnek :

( x – y ) farkı, 3 ün katı olan ( x, y ) ikililerini inceleyelim. Bunlardan bazıları,

( – 9, – 9 ), ( -7, -7 ), ( 0, 0 ) ( 1, 1 ), ( 2, 2 ), …

( – 10, 2 ), ( – 7, 1 ), ( 3, 0 ), ( 9, 0 ), ( 1, 100 ), ( 56, 2 ), … dir.

Buradan;

( 6, 0 ) için, 6 ≡ 0 ( mod 3 ),

( – 10, 2 ) için, – 10 ≡ 2 ( mod 3 ),

( 100, 1 ) için, 100 ≡ 1 ( mod 3 ) tür.

Kolayca görüleceği gibi ( mod 3 ) e göre 0 a denk olan ( 3 e bölümünden kalan 0 olan ) pek çok sayı vardır. Bu sayıların oluşturduğu kümeye 0 ın denklik ( kalan ) sınıfı denir vesembolüyle gösterilir.

= { … , – 9, – 6, – 3, ō, 3, 6, 9, … } dur.

Benzer şekilde,

= { … , – 8, – 5, – 2, 1, 4, 7, … },

= { … , – 7, – 4, – 1, 2,5, 8, … }

biçiminde ve kümeleri yazılabilir.

Z de 3 modülüne göre kalan sınıflarının kümesi,

Z / 3 = { , , },

Z de 5 modülüne göre kalan sınıflarının kümesi,

Z / 5 = { , , , , } tür.

Buradan, m modülüne göre kalan sınıflarının kümesi de,

Z / m = { , , , , … , } olur.

Örnek :

26 ≡ 2 ( mod m )

olduğuna göre, m nin alabileceği değerleri bulalım.

Çözüm :

26 ≡ 2 ( mod m ) 24 ≡ ō ( mod m )

olduğundan, m nin alabileceği değerler 24 ün 1 den büyük pozitif bölenlerinin sayısı kadardır.

O halde, m nin alabileceği değerler ;

2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 tür.

Diğer bir ifadeyle, m nin alabileceği değerlerin sayısı, m > 1 olduğundan,

24 = 23 . 31 ( 3 + 1 ) . ( 1 + 1 ) = 4 . 2 = 8

olduğundan, 8 – 1 = 7 tanedir.

Örnek :

2 – x ≡ 3 ( mod 7 )

olduğuna göre, x in alabileceği en büyük negatif tamsayı ile en küçük pozitif tamsayının toplamını bulalım.

Çözüm :

2 – x ≡ 3 ( mod 7 ) 2 – 3 ≡ x ( mod 7 )

– 1 ≡ x ( mod 7 )

6 ≡ x ( mod 7 ) dir.

O halde, x in alabileceği değerler,

… , – 15, – 8, – 1, 6, 13, 20, … dir.

Buradan, istenilen sonuç ; – 1 + 6 = 5 tir.

Örnek :

Bir askeri birlikte 5 günde bir nöbet tutan bir asker, ilk nöbetini Salı günü tuttuğuna göre, 11. nöbetini hangi gün tutacağını bulalım.

Çözüm :

5 günde bir nöbet tutan bir asker ilk nöbetini Salı günü tuttuğuna göre, 11. nöbeti için 10 nöbet kalmıştır. Asker 11. nöbetini, 5 . 10 = 50 gün sonra tutacaktır.

50 ≡ 1 ( mod 7 ) olduğundan, asker ilk nöbetini Salı günü tuttuğu için 11. nöbetini Salı’dan bir gün sonra yani Çarşamba günü tutacaktır.

Kural :
Z / m de x, y, u, v є Z olmak üzere,

x ≡ y ( mod m ), u ≡ v ( mod m ) ise

1) x + u ≡ y + v ( mod m )

2) x – u ≡ y – v ( mod m )

3) x . u ≡ y . v ( mod m )

4) k . x ≡ k . y ( mod m ), k є Z

5) xn ≡ yn ( mod m ), n є N dir.

Örnek :

33 ≡ x ( mod 5 )

26 ≡ y ( mod 5 )

x + y ≡ a ( mod 5 )

olduğuna göre, a değerini bulalım.

Çözüm :

Kural gereği,

33 = 27 ≡ 2 ≡ x ( mod 5 ) ve,

26 = 64 ≡ 4 ≡ y ( mod 5 ) olduğundan,

x + y = 2 + 4 = 6 ≡ 1 ( mod 5 ) olur.

O halde, a = 1 dir.

Örnek :

366 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm :

366 sayısının 5 ile bölümünden kalan x ise 366 ≡ x ( mod 5 ) tir.

Buna göre,

31 ≡ 3 ( mod 5 )

32 ≡ 4 ( mod 5 )

33 ≡ 2 ( mod 5 )

34 ≡ 1 ( mod 5 ) olduğundan,

366 ≡ ( 34 )16 . 32 ( mod 5 )

≡ ( 1 )16 . 32 ( mod 5 )

≡ 1 . 4 ( mod 5 )

≡ 4 ( mod 5 ) tir.

O halde, x = 4 tür.

Örnek :

( 99 )1999 sayısının 7 ile bölümünden kalanının kaç olacağını bulalım.

Çözüm :

99 ≡ 1 ( mod 7 ) olduğundan,

( 99 )1999 ≡ ( 1 )1999 ≡ 1 ( mod 7 ) dir.

O halde, ( 99 )1999 sayısının 7 ile bölümünden kalan 1 dir.

Örnek :

( 248 )66 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm :

248 ≡ 3 ( mod 5 ) olduğundan,

( 248 )66 ≡ 366 ( mod 5 )

≡ 4 ( mod 5 ) tir.

34 ≡ 1 ( mod 5 ) olduğundan,

366 ≡ ( 34 )16 . 32 ( mod 5 )

≡ 116 . 9 ( mod 5 )

≡ 4 ( mod 5 ) tir.

Örnek :

2125 sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm :

2125 sayısının 7 ile bölümünden kalan x ise

2125 ≡ x ( mod 7 ) dir.

21 ≡ 2 ( mod 7 )

22 ≡ 4 ( mod 7 )

23 ≡ 1 ( mod 7 )

2125 ≡ ( 23 )41 . 22 ( mod 7 )

≡ 141 . 4 ( mod 7 )

≡ 1 . 4 ( mod 7 )

≡ 4 ( mod 7 )

Örnek :

( 2124 )2002 sayısının birler basamağındaki rakamı bulalım.

Çözüm :

Bir sayının 10 a bölümünden kalan birler basamağındaki rakamı verir. ( 2124 )2002 sayısının birler basamağındaki rakam x ise

( 2124 )2002 ≡ x ( mod 10 ) dur.

2124 ≡ 4 ( mod 10 ) olduğundan,

42002 ≡ x ( mod 10 ) dur.

41 ≡ 4 ( mod 10 )

42 ≡ 6 ( mod 10 )

43 ≡4 ( mod 10 )

44 ≡ 6 ( mod 10 )

Görüldüğü gibi 4 ün tek kuvvetleri için kalan 4, çift kuvvetleri için kalan 6 olmaktadır. Buna göre, 42002 ≡ 6 ( mod 10 ) dur.

( 2124 2002 sayısının birler basamağındaki rakam 6 dır.

Örnek :

61453 ≡ x ( mod 9 ) olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm :

61 ≡ 6 ( mod 9 )

62 ≡ 0 ( mod 9 )

63 ≡ 0 ( mod 9 )

64 ≡ 0 ( mod 9 )

olduğuna göre, 6 nın 2 ve 2 den büyük bütün tam kuvvetlerinin 9 ile bölümünden kalan 0 dır. Buna göre, 61453 ≡ 0 ( mod 9 ) dur.

O halde, x = 0 dır.

Örnek :

( 1999 )2001 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm :

1999 ≡ 4 ≡ -1 ( mod 5 ) olduğundan,

( 1999 )2001 ≡ ( – 1 )2001 ( mod 5 )

≡ – 1 ( mod 5 )

≡ 4 ( mod 5 ) tir.

O halde, ( 1999 )2001 sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 tür.

Örnek :

8101 . 599 sayısının 6 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm :

8101 sayısının 6 ile bölümünden kalan x ve 599 sayısının 6 ile bölümünden kalan y ise 8101 . 599 sayısının 6 ile bölümünden kalan x . y dir. Buna göre, 8101 ≡ 2101 ≡ x ( mod 6 ) dır.

21 ≡ 2 ( mod 6 )

22 ≡ 4 ( mod 6 )

23 ≡ 2 ( mod 6 )

24 ≡ 4 ( mod 6 )

2 nin tek kuvvetlerinde kalan 2, çift kuvvetlerinde kalan 4 olduğundan, 8101 ≡ 2101 sayısı da 2 ye denktir. Yani, x = 2 dir.

599 ≡ y ( mod 6 ) olsun.

51 ≡ 5 ( mod 6 )

52 ≡ 1 ( mod 6 )

599 ≡ ( 52 )49 . 5 ( mod 6 )

≡ 149 . 5 ( mod 6 )

≡ 5 ( mod 6 )

olduğundan, y = 5 tir.

x . y ≡ 2. 5 ( mod 6 )

≡ 4 ( mod 6 )

olduğundan, 8101 . 599 sayısının 6 ile bölümünden kalan 4 tür.

Kural :
x sayısı, m nin katı olmayan pozitif bir tamsayı ve m asal sayı ise, xm – 1 ≡ 1 ( mod m ) dir.

24 ≡ 1 ( mod 5 )

34 ≡ 1 ( mod 5 )

36 ≡ 1 ( mod 7 )

56 ≡ 1 ( mod 7 )

710 ≡ 1 ( mod 11 )

512 ≡ 1 ( mod 13 )

Görüldüğü gibi bu kural ciddi bir kolaylık sağlamaktadır. Örneğin, kural gereği olarak ifade ettiğimiz 710 ≡ 1 ( mod 11 ) sonucunu görebilmek için artık 10 satır işlem yapmamız gerekmeyecek.

Örnek :

k pozitif tamsayı olmak üzere,

56k + 2 ≡ x ( mod 7 )

olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm :

Kural gereği,

56 ≡ 1 ( mod 7 ) dir. Buna göre,

56k + 2 ≡ ( 56 )k . 52 ( mod 7 )

≡ 1k . 25 ( mod 7 )

≡ 4 ( mod 7 ) dir.

O halde, x = 4 bulunur.

Örnek :

( 2513 )1993 sayısının 11 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm :

2513 ≡ 5 ( mod 11 ) ve kural gereği 510 ≡ 1 ( mod 11 ) olduğundan,

( 2513 )1993 ≡ 5199 . 10 + 3 ( mod 11 )

≡ ( 510 )199 . 53 ( mod 11 )

≡ 1 199 . 125 ( mod 11 )

≡ 4 ( mod 11 ) dir.

Örnek :

3x + 1 ≡ 4 ( mod 12 )

olduğuna göre, x in alabileceği en küçük pozitif iki tamsayının toplamının kaç olabileceğini bulalım.

Çözüm :

3x + 1 ≡ ( mod 12 ) є Z dir.

Buradan, = є Z dir.

є Z x ≡ 1 ( mod 4 ) tür.

O halde, x in alabileceği en küçük pozitif iki tamsayı 1 ve 1 + 4 = 5 tir.

Buna göre, bu sayıların toplamı, 1 +5 = 6 olur.

Örnek :

Z / 5 te, . x2 + = denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm :

. x2 + = denklemini kalan sınıfları biçiminde değil de, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem 1 ≡ 11 ( Z / 5 ) olduğundan,

2×2 + 3 = 11

2×2 = 9

x2 = 4

x = 2 veya x = – 2 dir.

O halde, Z / 5 te,

x = 2 Ç1 = { }

x = – 2 Ç2 = { } olur. Buradan, Ç = Ç1 Ç2 Ç = { , } tür.

Örnek :

Z / 6 da

x + y ≡

x + y ≡ olduğuna göre, y değerini bulalım.

Çözüm :

3 / x + y ≡

x + y ≡

.x + .y ≡

_ .x + . y ≡

.x + y ≡ – 2 ≡

olduğundan , y ≡ olur.

İŞLEM

A, boş olmayan bir küme ve A B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlı her fonksiyona, A kümesinde tanımlı ikili işlem ya da işlem denir.

İşlemi +, -, ., , o,, , … gibi sembollerle gösteririz.

Örnek :

( 4, 1 ) 5 ………. 4 + 1 = 5

( 4, 1 ) 3 ………. 4 – 1 = 3

( 4, 2 ) 8 ………. 4 . 2 = 8

( 4, 2 ) 2 ………. 4 : 2 = 2

( x, y ) z ………. x y = z

Örnek :

Tamsayılar kümesi üzerinde,

a b = a3 – b3

şeklinde “” işlemi tanımlanmıştır. Buna göre, 4 2 işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm :

a b = a3 – b3 olduğundan,

4 2 = 43 – 23 = 64 – 8 = 56 dır.

Örnek :

Tamsayılar kümesi üzerinde,

a Δ b = 2a – 3b

şeklinde “Δ” işlemi tanımlanmıştır. Buna göre, 5 Δ ( 4 Δ 2 ) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm :

a Δ b = 2a – 3b olduğundan,

5 Δ ( 4 Δ 2 ) = 5 Δ ( 2 . 4 – 3 . 2 ) = 5 Δ ( 8 – 6 )

= 5 Δ 2 = 2 . 5 – 3 . 2

= 10 – 6

= 4 tür.

Örnek :

B = { N, İ, H, A, L }

Kümesi üzerinde işlemi yandaki tabloya göre tanımlanıyor.

* N İ H A L

a) N * A sonucunu bulalım. N L N İ H A

b) ( A * H ) * L sonucunu bulalım. İ N İ H A L

c) H * x = İ ise x i bulalım. H İ H A L N

A H A L N İ

L A L N İ H

Çözüm :

* N İ H A L

a) N * A = H N L N İ H A

b) ( A * H ) * L İ N İ H A L

= ( L ) * L H İ H A L N

= H dir. A H A L N İ

c) H * N = İ olduğundan H * x = İ eşitliğinde L A L N İ H

x = N dir.

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

1) Kapalılık Özelliği

A boş olmayan bir küme ve *, A da tanımlı bir işlem olsun.

” x, y є A için x * y є A ise A kümesi “*” işlemine göre kapalıdır denir.

Örnek :

A = { 1, 2, 3, 4 } kümesi üzerinde tanımlı,

x * y = x . y + 1

işlemine göre, A kümesinin kapalı olup olmadığını bulalım.

Çözüm :

A kümesinin * işlemine göre kapalı olabilmesi için A ya ait herhangi iki eleman ile yapılan işlemin sonucu yine A nın bir elemanı olmalıdır.

3 є A ve 4 є A dır.

Fakat, 3 * 4 = 3 . 4 + 1 = 13 Ï A dır.

Demek ki, A kümesi * işlemine göre kapalı değildir.

Örnek :

A = { f, e, m } f e m

kümesinin, yandaki tabloda tanımlanan işlemine f f f f

göre kapalı olup olmadığını inceleyelim. e f e m

m f m e

Çözüm :

Tablodan da görüleceği gibi, A dan alınan herhangi iki elemanın işlemine göre sonucu yine A ya ait bir elemandır. Bunun için, A kümesi işlemine göre kapalıdır.

Örnek :

N ( Doğal sayılar kümesi ), toplama işlemine göre kapalıdır. Çünkü herhangi iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır.

Örnek :

R ( Reel sayılar kümesi ), çarpma işlemine göre kapalıdır. Çünkü, herhangi iki reel sayının çarpımı yine bir reel sayıdır.

2) Değişme Özelliği

A boş olmayan bir küme ve *, A da tanımlı bir işlem olsun.

“x, y є A için, x * y = y * x ise * işleminin değişme özelliği vardır denir.

Örnek :

Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

x * y = 3x + 3y + 1

işleminin değişme özelliğine sahip olduğunu gösterelim.

Çözüm :

“x, y є R için,

x * y = 3x + 3y + 1

= 3y + 3x + 1

= y * x

olduğundan * işleminin değişme özelliği vardır.

Örnek :

A = { x, y, z } x y z

kümesinde yandaki tabloya tanımlanan işleminin x z x y

değişme özelliği vardır. Çünkü, işleminin tablosu y x y z

sol köşegene göre simetriktir. z y z x

3) Birleşme Özelliği

A, boş olmayan bir küme ve *, A da tanımlı bir işlem olsun.

“x, y, z є A için, x * ( y * z ) = ( x * y ) * z ise * işleminin birleşme özelliği vardır denir.

Örnek :

Tamsayılar kümesi üzerinde tanımlanan + ( toplama ) ve . ( çarpma ) işleminin birleşme özelliği vardır. Fakat, – ( çıkarma ) işleminin birleşme özelliği yoktur.

4) Birim ( Etkisiz ) Eleman

A, boş olmayan bir küme ve *, A da tanımlı bir işlem olsun.

“x є A için, x * e = e * x = x olacak şekilde bir e є A varsa e ye * işleminin birim ( etkisiz ) elemanı denir.

Not :
1) Etkisiz eleman varsa, sabit ve bir tanedir.

2) Değişme özeliği olan * işleminde x * e = e * x = x olacağından

bu işlemin etkisiz ( birim ) elemanı sadece x * e = x veya sadece e * x = x

eşitliğinden bulunabilir.

Örnek :

Tamsayılar kümesinde tanımlı,

x Δ y = x + y + 2

işleminin birim ( etkisiz ) elemanını bulalım.

Çözüm :

Δ işleminin birim elemanı e olsun.

Δ işlemi değişmeli olduğu için x Δ e = x şartını sağlayan e elemanını bulmalıyız.

X Δ e = x x + e + 2 = x

e + 2 = 0

e = – 2 dir.

“Δ” işleminin etkisiz elemanı -2 dir.

Örnek :

T = { K, E, M, A, L } K E M A L

Kümesi üzerinde yandaki tabloyla tanımlanan işleminin K K E M A L

Etkisiz elemanını bulalım. E E M A L K

M M A L K E

A A L K E M

L L K E M A

Çözüm :

Tablodan da görüleceği gibi, K E M A L

K K = K K K E M A L

E K = K E = E E E M A L K

M K= K M = M M M A L K E

A K = K A = A A A L K E M

L K = K L = L L L K E M A

olduğundan işleminin etkisiz elemanı K dir.

Örnek :

R de tanımlanan,

x * y = x + y + xy

işleminin etkisiz elemanını bulalım.

Çözüm :

* işleminin etkisiz elemanı e olsun.

* işlemi değişmeli olduğu için x * e = x şartını sağlayan e elemanını bulmalıyız.

x * e = x x + e + x . e = x

e + x . e = 0

e ( 1 + x ) = 0 dır.

Bu eşitliğin tüm x reel değerlerini sağlanması için e = 0 olmalıdır.

“*” işleminin etkisiz elemanı 0 dır.

Örnek :

“x є A için, x + 0 = 0 + x = x

x.1 = 1.x = x

olduğu için reel sayılar kümesi üzerinde tanımlanan toplama işleminin etkisiz elemanı 0 ( sıfır ) ve çarpma işleminin etkisiz elemanı 1 ( bir ) dir.

5) Bir Elemanın Tersi

A boş olmayan bir küme ve * , A da tanımlı bir işlem olsun. Bu işlemin birim elemanı e ve x є A için,

x * y = y * x = e

şartını sağlayan y є A ya * işlemine göre x in tersi denir ve x -1 şeklinde gösterilir.

Not :

1. Bir işlemin etkisiz elemanı yoksa ters elemandan söz edilemez.

2) Bir elemanın tersinin tersi kendisidir.

3) Etkisiz elemanın tersi kendisidir.

Örnek :

Reel sayılar kümesinde tanımlanan,

x Δ y = x + y – 5xy

işlemine göre, 2 nin tersini bulalım.

Çözüm :

Önce Δ işleminin birim elemanı olan e yi bulalım.Δ işlemi değişmeli olduğundan x Δ e = x den e yi bulalım.

x Δ e = x x + e – 5xe = x

e – 5xe = 0

e(1 – 5x) = 0

e = 0 dır.

2 nin tersi a olsun.

2 Δ a = 0 2 + a – 5.2.a = 0

2 – 9a = 0

a = dur.

Örnek :

C = { S, A, K, I, P } * S A K I P

kümesinde tanımlanan * işlemine göre her S I P S A K

elemanın tersini bulalım. A P S A K I

K S A K I P

I A K I P S

P K I P S A

Çözüm :

* işlemine göre etkisiz eleman K dır.

S * P = P * S = K olduğu için S -1 = P dir.

A * I = I * A = K olduğu için A -1 = I dır.

K * K = K olduğu için K -1 = K dır.

I * A = A * I = K olduğu için I -1 = A dır.

P * S = S * P = K olduğu için P -1 = S dir.

Örnek :

Reel sayılar kümesinde toplama işlemine göre etkisiz eleman 0 olduğundan,

“x є R için, x + x -1 = x -1 + x = 0

şartını sağlayan x -1 = – x є R dir. Reel sayılar kümesinde . ( çarpma ) işlemine göre etkisiz eleman 1 olduğundan,

“x є R için, x.x -1 = x -1 . x = 1

şartını sağlayan x -1 = є R dir.

Örneğin, 5 in + işlemine göre tersi – 5, . işlemine göre tersi tir.

6) Yutan Eleman

“x є A için, x * y = y * x = y ise y є A elemanına * işleminin yutan elemanı denir.

Örnek :

R de tanımlanan,

x * y = x + y – 3xy

işlemine göre, yutan elemanı bulalım.

Çözüm :

Yutan eleman y olsun.

* işlemini değişmeli olduğuna göre,

“x є R için x * y = y

x + y – 3xy = y

x – 3xy = 0

x (1 -3) = 0

1 – 3y = 0

y = tür.

Not :
Yutan elemanın tersiyoktur.

Örnek :

B = { A, L, İ } A L İ

kümesinde tanımlanan işleminin yutan elemanı A A A A

bulalım. L A L İ

İ A İ L

Çözüm :

A L İ

Tablodan da görüleceği gibi, A A A A

A A = A L A L İ

A L = L A = A İ A İ L

A İ = İ A = A

Olduğundan, işleminin yutan elemanı A dır.

Örnek :

Reel sayılar kümesinde tanımlanan . işlemine göre yutan eleman 0 dır.

Çünkü, “x є R için, x.0 = 0.x = 0 dır.

Reel sayılar kümesinde tanımlanan + işleminin yutan elemanı yoktur.

7) Dağılma Özelliği

Δ ve * , A da tanımlı iki işlem olsun.

“x, y, z є A için,

x Δ ( y * z ) = ( x Δ y ) * ( x Δ z ) ( soldan dağılma özelliği )

( y * z ) Δ x = ( y Δ x ) * ( z Δ x ) ( sağdan dağılma özelliği )

oluyorsa, Δ işleminin * işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.

Örnek :

Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlanan . işleminin + işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

Çünkü , “x, y, z є R için,

x. ( y + z ) = x.y + x.z ve

( y + z ) . x = y.x + z.x dir.

Örneğin, 2, 4, 6 є R için,

2. ( 4 + 6 ) = 2.4 + 2.6

2.10 = 8 + 12

20 = 20 ve

( 4 + 6 ) . 2 = 4 .2 + 6 . 2

2. = 8 + 12

20. = 20 dir.

Uyarı :

Boş olmayan bir A kümesi üzerinde tanımlı “*” işlemi,

1) A kümesi * işlemine göre kapalı ise,

2) birleşme özelliği varsa,

3) etkisiz ( birim ) elemanı varsa,

4) işleme göre, her elemanın tersi varsa bir gruptur. Değişme özelliği de varsa ( A, * ) değişmeli gruptur.

Örnek :

1. Reel sayılar kümesi toplama ( + ) işlemine göre değişmeli bir gruptur.
2. Doğal sayılar kümesi ise toplama ( + ) işlemine göre bir grup değildir. Çünkü 3 ün toplama işlemine göre tersi olan -3 bir doğal sayı değildir.

Paraboller

PARABOL

A. TANIM

a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.

Parabol, düzgün tel parçasının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası

T(r, k) olmak üzere,

Ü Parabol doğrusuna göre simetriktir.

doğrusu parabolün simetri eksenidir.

y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır.

C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.

ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.

Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde

• D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.

• D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.

• D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.

D. x2 NİN KAT SAYISI OLAN a NIN İŞARETİ

1) a > 0 ise, parabolün kolları yukarı doğru olup, f(x) in en küçük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır.

2) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır.

3) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin kat sayısı, g deki x2 nin kat sayısından büyüktür.

Ü f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.

2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.

E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) ... (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – r)2 + k ... (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

y1 = ax12 + bx1 + c ... (1)

y2 = ax22 + bx2 + c ... (2)

y3 = ax32 + bx3 + c ... (3)

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.

F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU

y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile

y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.

f(x) = g(x)

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + (b – m)x + c – n = 0 ... («)

(«) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.

Buna göre, («) denkleminde;

• D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.

• D < 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.

• D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.

Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.